组合数学
\(\qquad\!\!\)一些在求组合数的时候会很有用的东西：
1、乘法逆元:
- ①、费马小定理：
\(\qquad\!\!\)当 \(p\) 为素数，\(a\) 为一个正整数且 \(a\) 与 \(p\) 互质，则 \(a^{-1}\equiv a^{p-2} \pmod{p}\)
\(\qquad\!\!\)例题：
\(\qquad\!\!\)给定 \(a\)、\(p\)，保证 \(p\) 为素数并且 \(a\) 与 \(p\) 互质，求出在模 \(p\) 意义下的 \(a\) 的逆元。
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using namespace std;
int a,p;
in int qread()
{
int x=0,y=1;
int ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
{
y=-1;
}
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*y;
}
in void qwrite(re int x)
{
if(x<0)
{
putchar('-');
qwrite(-x);
}
else
{
if(x>9)
{
qwrite(x/10);
}
putchar(x%10+'0');
}
return ;
}
in int qpow(re int x,re int y)
{
int res=1;
while(y)
{
if(y&1)
{
res=(res*x)%p;
}
x=(x*x)%p;
y>>=1;
}
return res%p;
}
int main()
{
a=qread();
p=qread();
qwrite(qpow(a,p-2));
putchar('\n');
return 0;
}- ②、递推：
\(\qquad\!\!\)给定 \(n\)、\(p\)，保证 \(p\) 为质数，在 \(O(n)\) 的时间复杂度内求出 \(1-n\) 在模 \(p\) 意义下的乘法逆元：
\(\qquad\!\!\)首先我们有 \(1^{-1}\equiv 1\pmod{p}\)
\(\qquad\!\!\)然后设 \(p=k\times i+r\ \ (1<r<i<p)\)，也就是 \(k\) 是 \(p/i\) 的商，\(r\) 是余数。
\(\qquad\!\!k\times i+r\equiv 0\pmod{p}\)
\(\qquad\!\!\)两侧同时乘 \(i^{-1}\) 和 \(r^{-1}\)：
\(\qquad\!\!k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod{p} \\ \qquad\!\! \qquad\!\! \qquad\!\! \ \ \ \ \ i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}\pmod{p} \\ \qquad\!\! \qquad\!\! \qquad\!\! \ \ \ \ \ i^{-1} \equiv \left(p-\left\lfloor \dfrac{p}{i}\right\rfloor\right)\times (p\bmod i)^{-1} \pmod{p}\)
\(\qquad\!\!\)例题：
\(\qquad\!\!\)P3811 【模板】乘法逆元：
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const int N=3000010;
using namespace std;
int n,p,inv[N];
in int qread()
{
int x=0,y=1;
int ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
{
y=-1;
}
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*y;
}
in void qwrite(re int x)
{
if(x<0)
{
putchar('-');
qwrite(-x);
}
else
{
if(x>9)
{
qwrite(x/10);
}
putchar(x%10+'0');
}
return ;
}
int main()
{
n=qread();
p=qread();
inv[1]=1;
putchar('1');
putchar('\n');
for(re int i=2;i<=n;i++)
{
inv[i]=1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
qwrite(inv[i]);
putchar('\n');
}
return 0;
}- ③、递推阶乘逆元：
\(\qquad\!\!\)本宇筛。
\(\qquad\!\!\)例题：
\(\qquad\!\!\)求一个组合数 \(\dbinom{n}{m}\)：
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81#
const int M=M;
const int N=N;
using namespace std;
int n,m;
int fact[N],finv[N];
in int qread()
{
int x=0,y=1;
int ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
{
y=-1;
}
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*y;
}
in void qwrite(re int x)
{
if(x<0)
{
putchar('-');
qwrite(-x);
}
else
{
if(x>9)
{
qwrite(x/10);
}
putchar(x%10+'0');
}
return ;
}
in int qpow(re int x,re int y)
{
int res=1;
while(y)
{
if(y&1)
{
res=res*x%M;
}
x=x*x%M;
y>>=1;
}
return res;
}
in int C(re int x,re int y)
{
if(x<y)return 0;
return fact[x]*finv[y]%M*finv[x-y]%M;
}
signed main()
{
n=qread();
m=qread();
fact[0]=1;
for(re int i=1;i<=n;i++)
{
fact[i]=fact[i-1]*i%M;
}
finv[n]=qpow(fact[n],M-2);
for(re int i=n-1;~i;i--)
{
finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%M;
}
qwrite(C(n,m));
return 0;
}2、卢卡斯定理：
\(\qquad\!\!\)例题：
\(\qquad\!\!\)P3807 【模板】卢卡斯定理：
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